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Algèbre de Boole

mardi 19 septembre 2006, par Petit poney

L’algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques, de la logique et de l’électronique qui s’intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.

Plus spécifiquement, l’algèbre booléenne permet d’utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut initiée par le mathématicien britannique du milieu du XIXe siècle George Boole.
L’algèbre de Boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions mathématiques. Pour cela, on définit chaque signal élémentaire par des variables logiques et leur traitement par des fonctions logiques.

Des méthodes (table de vérité) permettent de définir les opérations que l’on désire réaliser, et à transcrire le résultat en une expression algébrique. Grâce à des règles appelées lois de composition, ces expressions peuvent être simplifiées.
Cela va permettre de représenter grâce à des symboles un circuit logique, c’est-à-dire un circuit qui schématise l’agencement des composants de base (au niveau logique) sans se préoccuper de la réalisation au moyen de transistors (niveau physique).

- Variable logique :

Un ordinateur ne manipule que des données binaires, on appelle donc variable logique une donnée binaire, c’est-à-dire une donnée ayant deux états possibles : 0 ou 1.

- Fonction logique :

On appelle « fonction logique » une entité acceptant plusieurs valeurs logiques en entrée et dont la sortie (il peut y en avoir plusieurs) peut avoir deux états possibles : 0 ou 1.

En réalité ces fonctions sont assurées par des composants électroniques admettant des signaux électriques en entrée, et restituant un signal en sortie. Les signaux électroniques peuvent prendre une valeur de l’ordre de 5 Volts (c’est l’ordre de grandeur général) que l’on représente par un 1, ou 0 V que l’on représente par un 0.

- Les portes logiques :

Les fonctions logiques de bases sont appelées portes logiques. Il s’agit de fonctions ayant une ou deux entrées et une sortie :

- La fonction OU (en anglais OR) positionne sa sortie à 1 si l’une ou l’autre de ses entrées est à 1
- La fonction ET (en anglais AND) positionne sa sortie à 1 si ses deux entrées sont à 1
- La fonction OU EXCLUSIF (en anglais XOR) positionne sa sortie à 1 si l’une ou l’autre de ses entrées est à 1 mais pas les deux simultanément
- La fonction NON (appelée aussi inverseur) positionne sa sortie à 1 si son entrée est à 0, et vice-versa

On définit généralement les fonctions NON OU (couramment appelée NOR) et NON ET (NAND) comme étant la composition respective d’un NON avec un OU et un ET.

- Expression algébrique :

Le but de l’algèbre de Boole est de décrire le traitement de signaux sous forme d’expression algébrique. Comme nous l’avons vu, les signaux sont représentés par des noms de variables. Les fonctions logiques sont représentées par des opérateurs :

- la fonction OU est représenté par un plus : +
- la fonction ET est représenté par un point : .
- la fonction NON est représenté par une barre au-dessus de la variable inversée.
Elle est parfois représentée par un / devant la variable inversée

Une expression algébrique sera donc une expression du type :
S=a.(b+c)



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